基於物理的信息神經網絡PINNs求解複雜梁的正問題和反問題系統

摘要—本文提出了一種新的框架，使用物理信息神經網絡（PINNs）來模擬基於歐拉-伯努利和鐵木辛柯理論的複雜結構系統，這些系統由單梁和雙梁組成，雙梁通過溫克勒基礎連接。特別是，利用無量綱方程和物理信息損失函數求解歐拉-伯努利和鐵木辛柯偏微分方程（PDEs）的正問題和反問題。通過正問題，高階複雜梁PDEs被高效求解，以計算橫向位移和截面旋轉，誤差小於1e-3%。此外，反問題穩健地解決了整個時空域內未知無量綱模型參數和施加力的問題，即使在有噪聲數據的情況下也是如此。結果表明，PINNs是一種解決涉及梁系統的工程結構和機械問題的有前途的策略。

關鍵詞—PINNs, 複雜系統, 歐拉-伯努利梁, 鐵木辛柯梁, 雙梁系統.

目錄

• 1  引言

• 2  尺寸物理信息神經網絡PINNs

• 3  無量綱物理信息神經網絡PINNs

• A. 正問題的PINN框架

• B. 無量綱歐拉-伯努利梁方程

• C. 反問題的PINN框架

• 4  數值實驗

• IV. 數值實驗與討論

• 5  總結

1  引言

現實場景中的複雜工程問題通常由各個子系統之間的連接以及由內部和外部變量及其相互作用引起的行爲不確定性來表徵。此外，複雜系統（如工程結構和機器）的設計和維護由於這些同時運行和相互作用的組件的不確定集體行爲和屬性而變得具有挑戰性。這些問題通常很難通過傳統方法進行分析[1]。大多數這些複雜的工程系統是連續的，使用偏微分方程（PDE）模型來表徵和理解其行爲。這些PDE模型用於模擬廣泛的工程現象，從懸索橋纜中的多梁系統（Timoshenko梁方程）[2]到鐵路中弓網接觸的懸鏈線-弓網相互作用（阻尼梁方程）[3]，再到擾亂飛行的空氣湍流（Navier-Stokes方程）[4],[5]，以及其他許多現象[6]-[13]。這些PDE的解使得諸如結構健康監測[14]-[16]和優化結構設計[17],[18]等現實挑戰得以解決。

在維護複雜工程系統時，開發診斷和預後算法是一個問題[1]。通過求解感興趣的PDE的正問題和反問題，可以獲得預測系統行爲的見解，從而最小化複雜系統的意外停機時間。這些方程的複雜程度從極其非線性（Navier-Stokes方程[19]）到包含複雜的高階邊界條件（四階梁方程[20]）不等。在實踐中，這些方程過於複雜，無法解析求解，必須數值求解。有限差分法和有限元法等數值方法已被用於近似這些PDE的解。儘管它們在實踐中取得了成功，但這些方法也遇到了一些困難，如網格創建，對於高維複雜幾何體更加困難[21],[22]。

近年來，科學機器學習結合科學計算與機器學習方法來估計PDE解，取得了顯著進展，成爲上述數值方法的可行替代方案。綜述論文[21],[23],[24]廣泛討論了科學機器學習的最新突破，包括對現實工程問題的研究。然而，數據驅動方法需要大量數據，這在某些工程系統中可能計算成本高且容易受到噪聲影響[25]。解決這些問題的一種可能方法是在學習過程中利用已知的底層系統的物理知識[26]-[28]。可以通過在訓練點上結合PDE殘差，將先驗物理知識納入學習過程，類似於在訓練過程中利用物理方程。文獻[25]提出的底層神經網絡稱爲物理信息神經網絡（PINNs）。

PINNs利用神經網絡的通用函數逼近特性[29]，並在損失函數中嵌入由PDE建模的良態物理方程。物理原理的先驗知識在神經網絡訓練中作爲正則化代理，限制可接受解的空間並提高函數逼近精度。因此，給定問題的物理特徵的一些知識和一些訓練數據，可以利用PINN來識別高保真度解。綜述論文[21],[23]中討論的PINNs已經證明在近似現實問題的PDE解方面非常有效。

然而，也發現了PINNs的一些挑戰[32]。其中一個挑戰是學習具有大系數的物理方程的相關物理現象[33]。文獻[33]提出了一種序列到序列學習任務來解決這個問題。然而，當規模很大時，這可能計算成本高。文獻[34]中強調了在PINN框架中使用無量綱方程的重要性，特別是在心血管血流方面。我們基於這些工作，解決多尺度複雜梁系統的挑戰。因此，本文在損失函數中使用無量綱PDE代替有量綱PDE。這提供了一種計算上可行的方式來模擬現實物理方程。

精確預測結構[35]和結構元件（如板[36]和梁[37],[38]）的動態在結構工程領域至關重要。然而，通過實驗室實驗測量梁系統的感興趣量可能會很困難，因爲這需要專業原型、培訓和測試過程中的安全性，從而增加了實驗的總體成本。PINNs提供了一種基於模擬的解決方案，作爲一種無網格方法，不需要將域離散化爲有限數量的元素，使其在計算上比數值方法便宜。PINNs可以有效地將不完整或有噪聲的信息與先驗物理知識結合。所提出的框架將有量綱PDE轉換爲無量綱形式，增加了神經網絡的適用性，使得能夠預測任何材料的撓度和旋轉，提供了一種更具普適性的方法。

本文提供了一個框架，用於模擬由彈性層連接的兩個或多個基本結構系統組成的複雜結構系統。特別是研究了機械、建築和航空工業中常見的兩根彈性連接梁的強迫振動[6]。工程結構中的這些雙梁系統受到了科學界的極大關注，被認爲是複雜系統。研究了這些系統在各種加載和力條件下的動態預測，如文獻[39]-[47]中的研究。這些研究包括使用解析和閉式解[43],[48]-[51]；然而，解析方法在適用性方面有侷限性，因爲它們可能僅對特定類型的問題有用，並且對於具有多個變量或非線性方程的系統可能變得複雜。其他方法，如文獻[45],[52]中提出的狀態空間方法，對於具有大量狀態的系統也可能計算成本高。此外，文獻[6],[53]中提出的模態分析方法已被用於研究自然頻率和振動模式，但它們不提供系統的完整響應信息，無法用於預測任何時刻的時域響應。

所考慮的控制方程使用歐拉-伯努利和鐵木辛柯理論建模。除了求解正問題和計算感興趣的物理量外，我們還解決了反問題。對於反問題，可能沒有關於PDE輸入的完整信息，如初始或邊界數據、係數[54]-[56]或施加的力。這種知識的缺乏使得正問題不適定，進而無法唯一地求解正問題。在本文中，通過利用感興趣量的數據來確定PDE的未知輸入，例如模型參數和施加的力。

本文的主要貢獻如下：

• 據作者所知，這是首次使用物理信息機器學習解決歐拉-伯努利和鐵木辛柯複雜梁模型的正問題和反問題。
• 我們解決了PINNs在求解多尺度複雜梁PDE方面的挑戰，並提出了在損失函數中使用無量綱方程的框架。
• 所提出的無量綱PINN框架用於解決複雜系統的不適定反問題，並識別梁組件上的未知模型參數和施加的力。通過利用位移和截面旋轉等間接測量數據來實現這一點。
• 所提出的方法對噪聲具有魯棒性，可以適應測量數據中的潛在不確定性，使其非常適用於數據不完整或不確定的實際應用。

本文的其餘部分組織如下：第二部分介紹了使用PINN方法模擬有量綱歐拉-伯努利梁方程。由於PINNs在模擬有量綱歐拉-伯努利梁方程方面的侷限性，第三部分提出了一種在PINN損失函數中使用無量綱方程的替代方法，併成功用於求解無量綱歐拉-伯努利方程。第四部分首先應用所提出的框架模擬鐵木辛柯梁模型以求解正問題和反問題。然後求解歐拉-伯努利雙梁方程的正問題。此外，第四部分還涵蓋了鐵木辛柯雙梁系統的正問題和反問題。第五部分總結了本文的內容。

2  尺寸物理信息神經網絡PINNs

圖4所示。光束系統的PINN框架:對於正問題，損失函數包括無量綱偏微分方程以及邊界和初始條件。對於反問題，無量綱偏微分方程被附加了額外的數據和潛在的初始/邊界條件。

在本節中，簡要介紹了使用PINNs模擬PDE的方法，並使用抽象的有量綱PDE來進行說明。然後，該方法被用於模擬有量綱的歐拉-伯努利方程。考慮帶有隱含初始和邊界條件的以下抽象有量綱PDE：

其中 表示微分算子， 是關注量，，，對於 ， 表示包含在 維笛卡爾空間中的空間邊界， 表示時間域， 是模型參數， 是外力， 是抽象物理方程的符號。

深度神經網絡是PINNs的核心，其輸入 通過隱藏層的迭代組合映射到輸出 。這種組合包括權重 、偏置 和線性或非線性激活函數 。輸入在神經元內進行線性組合，其中它們被相應的權重相乘，並與偏置項一起求和。隨後，這個組合輸入通過一個非線性激活函數 ，如圖4所示。這允許神經網絡引入非線性，從而能夠捕捉輸入和輸出之間的複雜關係。

爲了訓練神經網絡，需要訓練集 ，由空間邊界點 、時間邊界點 和內部點 組成。因此，訓練集可以表示爲 。在這項工作中，、 和 分別被認爲有 、 和 個訓練點。訓練點的總數記爲 。爲了近似關注量 ，需要最小化包含物理模型（形式爲PDE並帶有初始和邊界條件）的損失函數。對於正問題，在損失函數中不需要額外的數據。損失函數 定義如下：

其中 代表每個訓練元組。使用合適的優化算法最小化該損失函數可以提供最佳參數 。

現在，我們使用PINN算法來模擬有量綱的歐拉-伯努利梁方程並評估相應的性能。動態歐拉-伯努利梁方程爲：

這裏， 和 分別指梁的長度和最終時間。此方程在空間-時間域內模擬梁的橫向位移 ，受外部橫向力 作用，如圖1所示。本工作考慮了具有恆定材料特性的均勻截面梁。參數 和 分別表示梁的密度和截面積。參數 和 分別是梁的楊氏模量和慣性矩。外力 非均勻地作用在梁體上， 是梁的橫向位移，是控制PDE中的唯一未知量。此外， 表示 關於 的二階偏導數， 表示 關於 的四階偏導數。正問題的目標是在初始和邊界條件的補充下計算梁的橫向位移。對於本研究，考慮簡支梁，其在兩個支撐上靜止，可以水平移動。簡支梁的實際應用包括鐵路軌道和橋樑，舉幾個例子。數學上，（3）的簡支邊界條件爲：

對於數值實驗，物理方程中考慮了類似鋁材的參數值，這些值廣泛用於製造梁。問題的參數值取 ，， 和 。此外，梁的長度取爲 米，外力 取爲 ，其中 。最終時間取爲 ，要解的PDE形式爲：

在域 和 上。爲了使（4）適定，梁的初始條件取爲 ，初始速度爲零，其中 。

爲了訓練神經網絡，生成了16000個隨機訓練點，其分佈爲 ， 和 。神經網絡包含4個隱藏層，每個隱藏層有20個神經元。選擇了tanh激活函數，這是PINN文獻中最常用的激活函數之一，如綜述論文[23]所述。損失函數（2）包括初始條件、邊界條件和PDE。PDE在損失函數中以殘差參數0.1進行正則化[57]。使用L-BFGS優化器，這是PINN文獻中最常用的優化器之一[23]，以最小化損失函數。如圖2所示，進行了15000次迭代。然而，圖中清楚地表明，優化器沒有收斂到解，並獲得了1014的巨大訓練損失。此外，圖表明優化器陷入了局部極小值，即使增加相同神經網絡配置的迭代次數也不會收斂。

在[16],[58]中，通過PINNs成功解決了歐拉-伯努利單梁方程的自由振動問題，其中PDE的係數取爲1。這表明PINNs可以模擬梁方程，挑戰在於處理現實物理方程時出現的大系數的多尺度值。在我們的情況下，由於方程的有量綱形式，高係數值導致了非收斂性。因此，迫切需要將方程的有量綱形式轉化爲無量綱形式。對於包含數百個隱藏層和神經元的一些配置，可能無需將PDE非量綱化就能解決這個問題。然而，非量綱化旨在提供計算上的可行性。

圖1所示。變化橫向力的簡支梁。

3  無量綱物理信息神經網絡PINNs

本節介紹了在PINN損失函數中使用無量綱方程的框架。首先描述了無量綱化控制PDE的方法。然後，介紹了使用無量綱方程求解正問題和反問題的算法。爲了無量綱化(1)中給出的抽象PDE，進行以下變換：

其中，和是將有量綱量和映射到相應的無量綱量的適當函數。在將上述變換代入(1)並引入無量綱參數後，得到：

所提出的框架使用無量綱方程在計算上簡化和穩定問題。通過無量綱化變量和參數，它們被保持在特定範圍內，從而提高了神經網絡的性能和泛化能力。此外，無量綱方程通過消除測量單位生成更具解釋性的解，使理解底層物理現象和在不同物理系統之間以比例和參數進行比較變得更容易。因此，在PINNs中使用無量綱方程可以增強神經網絡的計算穩定性、泛化能力和可解釋性。

A. 正問題的PINN框架

現在在損失函數中使用對應於有量綱PDE 的無量綱PDE ，定義如下：

圖4中展示了所提出的基於PINN框架的示意圖。

B. 無量綱歐拉-伯努利梁方程

我們現在在PINN框架中測試無量綱方程並評估相應的性能。爲了無量綱化(3)，使用以下變換：

將這些值代入(3)，得到：

其中，，初始和邊界條件爲：

爲了估計誤差，選擇了文獻[57]中使用的相對百分誤差。這裏，是預測值，是解析解。

選擇與前述案例相同的神經網絡架構來求解由此產生的無量綱PDE。獲得較低的訓練損失，表明PINN訓練成功。該情況下的解析解爲，用於量化近似解的誤差。歐拉-伯努利梁的無量綱位移在百分比內計算。使用PINN的無量綱位移預測如圖3(a)所示。圖3(b)顯示了精確解和預測解之間的絕對誤差。

近似解的等高線圖顯示了在力作用下簡支梁的動力學，其中x軸表示時間，y軸表示沿梁長度的位置，顏色表示梁的位移。在圖3(b)中，紅色區域表示高位移，而藍色區域表示低位移。當施加大量力時，梁的位置會產生強烈位移，這與已知的物理現象一致。網絡準確地捕捉到了梁的位移行爲，這在圖中的顏色平滑且連續的過渡中顯而易見。

圖3(b)中的誤差等高線圖顯示了網絡得到的近似解與真實解之間的差異。x軸表示時間，y軸表示沿梁長度的位置，顏色表示誤差。紅色區域表示高誤差，而藍色區域表示低誤差。訓練點濃度低的區域誤差較大，而訓練點濃度高的區域誤差相對較低。一種減少誤差的方法是在高誤差區域增加訓練點。然而，總體誤差較低，表明網絡準確地捕捉了梁的位移行爲。

從圖3(b)可以看出，PINNs準確地解決了無量綱歐拉-伯努利梁方程，因此，在所有進一步的實驗中，使用PINNs模擬無量綱PDE。此外，爲了簡潔起見，後續無量綱位移被簡稱爲位移。所提出的方法預測無量綱量，因此所有結果圖及其相關的誤差圖都是無量綱的。因此，在所展示的結果圖中沒有提及單位。接下來，我們描述使用無量綱方程的反問題求解策略。

C. 反問題的PINN框架

由(6)描述的抽象無量綱PDE是適定的，正問題可以唯一地求解。然而，在反問題的情況下，問題是不適定的，並且初始/邊界條件或參數/力是未知的。因此，通用的抽象PDE可以重新寫爲：

提出了PINN框架的算法以求解反問題。

反問題的目標是在某些訓練域中提供可觀測量的數據時，預測未知參數或力函數。在本文中，表示在點處用於反問題的可用數據。預測未知參數需要在損失函數中添加額外信息，如圖4所示。在使用神經網絡進行反操作研究中，雅可比矩陣需要表現出非零行列式、可逆，並且其最大和最小特徵值之間的比例合理，以保證唯一解並確保計算穩定性。反問題的算法與正問題相同，但在損失函數中略有修改。除了輸出，PINNs現在還通過利用已知數據預測物理問題的未知參數、力、初始或邊界條件。反問題的損失函數可以定義爲：

4  數值實驗

IV. 數值實驗與討論

在以下各小節中，介紹了五個數值實驗。這些實驗按進階方式進行，從單梁系統等簡單模型開始，然後進階到更復雜的雙梁連接溫克勒基礎的模型。爲了驗證所提出的方法，我們首先研究單梁的正問題和反問題，這作爲概念驗證。然後，我們將該方法應用於更復雜的雙梁系統，以模擬正問題和反問題。

A. 鐵木辛柯梁正問題

歐拉-伯努利梁理論在文獻中被廣泛使用，並已成功應用於埃菲爾鐵塔和摩天輪等結構中。然而，它沒有考慮橫向剪切變形的影響，這在短而厚的梁的垂直位移中通常很顯著[59]。鐵木辛柯梁理論提供了分析厚梁彎曲的數學框架[59]。根據鐵木辛柯理論，在外力作用下，梁除了橫向位移外，還會發生一些截面旋轉。在數學上，其動力學由兩個變量（橫向位移和截面旋轉）耦合的PDE系統建模。模型如下：

其中 、、 和 的含義與歐拉-伯努利梁中的相同； 稱爲鐵木辛柯剪切係數； 是剪切模量； 是作用在樑上的外力。橫向位移爲 ， 是梁在位置 和時間 的截面旋轉。將（12）無量綱化並取結果參數[60]爲1後，無量綱方程可以寫爲：

我們考慮外力[61]爲 ，計算域爲 和 。爲了使（13）適定，補充以下初始和邊界條件：

爲了估計近似解的誤差，使用所考慮問題的解析解，其爲：

當解析解不可用時，可以通過多種方式驗證PINN解。一種方法是將解與使用數值方法（如有限差分、有限元、有限體積或譜方法）獲得的解進行比較。可以通過將PINNs預測的解與相同物理方程的數值模擬解進行比較來實現。另一種方法是將PINNs獲得的解與實驗數據進行比較。可以將PINNs預測的解與實驗中在空間和時間上測量的值進行比較。最後，可以通過檢查PINNs獲得的解是否滿足系統的已知物理約束來驗證解的正確性。總之，可以使用現有的實驗數據、數值方法或物理約束來評估通過PINNs獲得的解的準確性。

求解PDE系統的難度大於求解單個PDE，但用於歐拉-伯努利方程的神經網絡結構成功地近似了鐵木辛柯梁的解。特別是，梁的橫向位移在 百分比內計算，截面旋轉在 百分比內近似。圖5和圖6展示了近似解和預測橫向位移與截面旋轉的絕對誤差。圖5顯示，當對鐵木辛柯梁施加正弦力時，梁比旋轉更大程度地彎曲。圖中的比例顯示，最大撓度爲1.44，最大旋轉爲0.32。此外，預測誤差較低，表明即使PDE複雜性增加，PINN仍然成功地求解鐵木辛柯PDE，結果與歐拉-伯努利方程相當。

我們將結果與三種其他方法進行了比較。我們考慮的第一種方法是廣泛使用的數值技術，即有限差分法（FDM）。另外兩種方法是基於神經網絡的方法，即物理引導神經網絡（PGNN）[28]，[62]-[65]和梯度增強物理信息神經網絡（gPINN）[66]。首先，對於FDM，我們採用中心差分方案近似空間導數，採用躍蛙方案近似時間導數。該方法允許我們以二階精度求解空間和時間問題。鐵木辛柯梁的結果表明，即使使用較少的訓練點，PINNs也能比FDM達到更高的精度。具體來說，FDM方案中使用了30,000個點，而PINNs訓練中僅使用了16,000個點，表1顯示，PINNs表現優於FDM。

其次，將PINN的性能與基於神經網絡的方法PGNN進行比較，PGNN利用嵌入在可用數據中的物理知識，例如鐵木辛柯梁問題中梁加速度與位移之間的關係。可以在梁的離散位置使用加速度計獲取加速度數據。在梁的五個等距點使用加速度數據，每個位置有2000個數據點。該數據集與位移的邊界和初始條件一起被增強，以匹配PINN的訓練數據大小。PGNN是一種深度神經網絡架構，輸入：位置(x)、時間(t)和加速度。位移(w)作爲該神經網絡的輸出。使用與PINN相同的超參數訓練PGNN，PGNN預測位移(w)的誤差約爲0.002739%，如表1所示。

此外，利用位移值(w)，神經網絡的自動微分和(13)，我們推導出了。隨後，構建了第二個神經網絡來預測，其中作爲輸入。截面旋轉()的邊界和初始條件也被用來引導PGNN找到最佳解。訓練PGNN後，截面旋轉的預測誤差約爲3.486727%。從表1可以看出，位移和旋轉預測的誤差都高於PINN。這個差異可以歸因於加速度數據在內部域內僅在離散空間位置上的可用性受限，而不是在整個域內隨機分佈。此外，用於旋轉預測的第二個神經網絡表現較差，可能是由於誤差傳播。

第三，我們進行與另一種基於神經網絡的方法（gPINN）模擬PDE的比較，gPINN在損失函數方面與PINN不同。文獻[66]中提出的縮寫“gPINN”在本文中使用，而不是用於另一種方法[67]的“GPINN”。除了PINN的損失函數外，gPINN利用PDE殘差的梯度信息並將梯度嵌入到損失函數中。對於鐵木辛柯梁問題，將PDE系統(13)關於空間(x)和時間(t)的導數補充到損失函數中。表1顯示，與PINN相比，gPINN在學習位移和截面旋轉方面表現出更高的相對誤差百分比。gPINN損失函數中物理方程的高階導數使得自動微分和損失函數的反向傳播變得具有挑戰性[68]，導致對鐵木辛柯梁的撓度和旋轉預測較差。表1表明，PINN在準確預測鐵木辛柯梁的位移和截面旋轉方面優於FDM、PGNN和gPINN，強調了其相對於這三種替代方法的卓越性能。

B. 鐵木辛柯梁反問題

本節解決鐵木辛柯梁的反問題，目的是利用PDE和梁的位移和旋轉數據來確定梁的材料屬性。在結構工程中，鐵木辛柯梁PDE的反問題對於確定梁系統的結構行爲和健康監測具有重要意義。這幫助工程師從觀測到的響應（如位移和旋轉測量）中推斷內部材料屬性和未知力。PINN通過結合物理知識和深度學習解決這個問題。PINN使用神經網絡學習PDE的未知參數與觀測數據之間的映射，同時將物理約束（以PDE形式）納入其中。參數識別有助於提供結構診斷和維修的重要信息，幫助工程師確保結構的安全和穩定。鐵木辛柯模型的參數估計如下所示：

在鐵木辛柯梁反問題的背景下，PINN在觀測到的梁的撓度和旋轉數據上進行訓練，材料屬性被視爲待估計的未知量。在這種情況下，作用在樑上的力 被認爲是已知的，模型中唯一的未知量是 。這使得問題變得不適定，需要先驗的額外數據來預測未知參數。對於 ，從正問題獲得的橫向位移和截面旋轉數據被提供來近似參數值。該數據不是無誤的，橫向位移的誤差爲 百分比，截面旋轉的誤差爲 百分比。如圖7所示，在樑上的五個位置()上提供了5000個點（紅點）上的附加數據。在實際應用中，可以使用安裝在樑上相應位置的傳感器收集這些數據，如圖7所示。

爲了解決反問題，神經網絡包括1600個隨機訓練點，其分佈爲 ， 和 。在損失函數中，選擇正則化參數爲1的PDE項[25]。使用L-BFGS優化器進行5000次迭代，其他參數與前述鐵木辛柯正問題相同。在 時，學得未知參數 。

我們比較了PINN和DNNs之間的性能，因爲使用數值迭代方法進行反問題計算成本高。在PINNs中，在 時，學得未知參數 。我們使用DNNs來識別鐵木辛柯單梁的參數。我們使用與PINN相同的DNN架構。使用DNN預測的alpha值爲0.6124。對於梁系統的反問題，PINN比DNNs更準確。

然而，在通過所提出的框架解決反問題時，可能需要注意幾個問題。首先，爲了避免過擬合，解決問題所需的最小訓練數據點應通過逐漸增加訓練點數來實證確定，直到模型性能令人滿意。其次，對於某些物理問題，噪聲數據可能導致優化算法的不收斂。因此，在使用PINN框架之前，可能需要對數據進行適當的過濾或預處理。最後，對於神經網絡的每次運行，可能會學到不同的參數或函數值；由於優化器在不同局部極小值處的收斂，通過多次運行找出反問題解的統計數據可能是有用的。

單梁方程的實驗結果表明，PINNs可以高效地解決單梁的正問題和反問題。在本研究中，我們調查了PINNs處理更複雜系統（特別是通過溫克勒基礎連接的雙梁系統）的能力，如圖10所示。

C. 歐拉-伯努利雙梁正問題

在本節中，以及所有進一步的實驗中，研究了兩根平行梁的受迫橫向振動。從結構上看，考慮了由溫克勒無質量基礎連接的等長兩根平行梁。這兩根梁被認爲是細長的，並具有均勻的材料特性。兩根梁的橫向位移由以下PDE系統控制[41]：

這裏， 和 分別是第一和第二根梁的位移。作用在樑上的分佈連續力爲 和 ，如圖10所示。梁的密度和截面積的乘積分別爲 和 。參數 和 表示梁的抗彎剛度，分別爲 和 。連接兩根梁的溫克勒彈性層的剛度模量記爲 。爲簡化起見，我們考慮 和 ，並將（15）無量綱化。將所有結果參數設爲1後，無量綱方程與（15）形式相同，係數爲1。初始條件爲：

假設兩根梁的四個端點均爲簡支，表示爲：

外作用力爲：

對於所考慮的問題，解析解爲：

除了計算梁的位移外，還計算了導出量，如速度、加速度和彎矩。這些導出量有助於系統的預測和診斷。例如，彎矩估算了施加外力時的彎曲效應。估算彎矩可以量化施加力作用下的彎曲程度。梁是最常見的易受彎矩影響的結構構件，因爲它可以在沿其長度的任何點彎曲。

爲了模擬歐拉-伯努利雙梁，考慮與單歐拉-伯努利梁相同的神經網絡架構。唯一的變化是殘差參數，在這種情況下爲1。結果如圖8-9和表II所示。第一根梁的PINN預測解和精確解之間的絕對差約爲 ，第二根梁約爲 ，如圖8所示。使用神經網絡的自動微分和反向傳播特性計算彎矩、速度和加速度。表II描述了在 時兩根梁的這些量的計算效率。梁橫向位移的相對百分誤差在 量級，而加速度誤差在 量級，非常低，顯示了物理信息學習的潛力。圖9展示了兩根梁的計算速度、彎矩和加速度。

D. 鐵木辛柯雙梁正問題

由歐拉-伯努利理論建模的雙梁系統也可以在相同假設下使用鐵木辛柯理論建模，如單鐵木辛柯方程所述[40]。除了提供梁的橫向位移外，鐵木辛柯理論還通過PDE系統提供兩根梁的截面旋轉[40]，如下所示：

其中 和 分別表示第根梁的橫向位移和截面旋轉，。 是溫克勒彈性層的剛度模量。 是剪切模量， 是鐵木辛柯剪切係數。其餘參數的含義與前述相同。爲簡化起見，我們考慮 和 ，並將（16）無量綱化。在一些額外假設下，無量綱方程與（16）形式相同，係數爲1。對於數值實驗，雙梁系統的初始狀態取爲：

爲了使問題適定，提供簡支邊界條件：

這裏，、和解析解如下：

進行了兩次實驗，改變訓練點數量，如表III所示。表IV顯示了近似兩根梁的橫向位移和截面旋轉的相對百分誤差。對於截面旋轉和，即使在較少訓練點的情況下，百分誤差的幅度也保持不變。使用大量訓練點會增加訓練時間，對於具有多個參數的問題可能不可行。在這些情況下，使用較少的訓練點可能會導致解的準確性降低，但可以相對更快地獲得。這種方法允許工程師對參數做出明智的決定，一旦識別出最佳參數，可以通過使用更多的訓練點重新計算正解，以獲得更高的準確性。這被稱爲在正問題中使用較少點進行訓練。即使對於1600個訓練點，、、和的預測解和精確解之間的絕對差也非常小，如圖11和圖12所示。圖11展示了雙鐵木辛柯梁的PINNs預測。散點表示精確解，連續線表示預測解。力均勻作用在兩根樑上；然而，第一根梁的撓度和旋轉大於第二根梁。圖12的結果表明，對於第二根梁，較多的訓練點（16000）比較少的訓練點（1600）能更準確地預測撓度和旋轉。相反，對於第一根梁，較少的訓練點（1600）比較多的訓練點（16000）能更準確地預測關注量。無論哪種情況，絕對誤差的差異相對較小，表明即使在較少訓練點的情況下，PINNs仍能產生準確的預測。

E. 鐵木辛柯雙梁反問題

作用在結構系統上的力對於結構設計和狀況評估至關重要。在設計、控制和診斷中，準確估計作用在結構上的動態力是必不可少的。這些細節可以用來評估結構狀況。例如，瞭解重型車輛對橋樑結構的影響可以幫助檢測其早期損壞。當施加的力無法直接測量，而響應可以輕鬆測量時，間接力確定具有特別意義。

對於反問題，進行了三次不同的實驗。首先，從鐵木辛柯雙梁系統中學習未知參數。我們考慮未知參數爲。對於值 ，在計算域的某些點提供橫向位移和截面旋轉數據。其次，通過提供無噪聲模擬位移和截面旋轉數據，學習作用在第一根樑上的未知函數。在這種情況下，所有其他參數、初始和邊界條件被認爲是已知的，只有函數是未知的。第三，通過提供有噪聲的位移和截面旋轉數據來預測相同的力函數。第二種情況下生成的數據被噪聲污染以用於第三種情況。第二種和第三種情況中要學習的函數的精確解爲。

工程中的反問題指的是通過一組測量數據來估計未知參數或函數的過程。在PINNs中，反問題通常通過訓練神經網絡來擬合測量數據和已知的物理定律來解決。然而，測量數據可能會受到各種噪聲源的影響，這會使對關注量的估計更加困難。噪聲可能使測量數據不可靠，神經網絡可能無法準確估計未知參數或函數。在這種情況下，神經網絡的優化器不一定會收斂到局部最小值。

與前述雙梁鐵木辛柯正問題相同的神經網絡架構被使用，殘差參數爲1，以在損失函數中對物理方程進行正則化。這裏使用L-BFGS優化器進行了2500次迭代來訓練神經網絡。爲了學習參數，在的位置提供了5000個數據點，如圖14所示。在(16)中未知參數的精確值爲，使用PINN框架預測的參數值爲1.0208，接近預期值。即使對於四個PDE系統，僅在一個特定梁位置提供數據，PINNs也能成功地學習未知參數。這表明PINNs可以高效處理大型複雜的PDE系統。

在第二次實驗中，預測了作用在第一根樑上的力函數。如圖15所示，在6個不同位置提供了橫向位移和截面旋轉的數據，每個位置有5000個數據點。

在第三次實驗中，提供了帶有10%和20%高斯噪聲的用於學習未知函數的數據，並顯示了相應的學習性能，如表V所示。即使有10%和20%的噪聲，解析力和預測力之間的相對誤差百分比仍較低，如表V所示。圖13顯示了當在五個點提供旋轉和撓度觀測時沿梁的力預測。結果表明，與有噪聲的數據相比，當數據無噪聲時，PINN的預測更精確。儘管數據中存在噪聲，絕對誤差仍保持在量級，與數據無噪聲時的誤差相當。更具體地說，圖13顯示了在時，PINN預測的力與精確力在0%和20%噪聲下的絕對誤差。即使在20%的噪聲下，未知力在整個時空域內的學習誤差仍小於1%，表明PINN是一種非常準確和魯棒的方法。

估計模型參數所需的最小數據點數量取決於幾個因素，如物理複雜性、模型中的物理參數數量和數據質量。更多的數據點和更復雜的物理需要更多的神經網絡容量，導致具有更多超參數的較大神經網絡。在實踐中，更多的數據點可能導致過擬合。PINN框架所需的最小訓練數據點數量通過逐漸增加訓練點數量，直到模型性能令人滿意來實證確定。

最後，進行了敏感性分析，以檢查輸入變量（特別是位移和旋轉）對輸出變量（即力）的影響。分析涉及在位移數據中加入20%的高斯噪聲，而不在旋轉數據中加入噪聲。所得力的平均精度爲0.14313413。相比之下，當在旋轉數據中加入20%的噪聲而位移數據保持不變時，力的平均精度爲0.204627。該分析的結果表明，力對旋轉數據比對位移數據更敏感。

圖15所示。數據學習力爲鐵木申科雙梁:藍點搭配點。紅點表示雙梁在六個不同位置的位移和旋轉的附加數據點。起始點和邊界點。

5  總結

複雜結構系統的設計和維護由於其組件的多尺度相互作用而充滿挑戰。通過求解相關的控制模型來預測這些複雜系統的行爲是理想的選擇。最近，PINNs已成爲模擬PDE的一種可行方法。在這項工作中，我們提出使用帶有無量綱化步驟的PINN算法來幫助學習複雜梁系統。PINN框架成功解決了無量綱單梁和雙梁系統的正問題和反問題。根據數值實驗，得出了以下結論。

首先，在求解正問題時，隨着模型複雜性的增加，梁位移計算的相對百分誤差不會增加。事實上，對於歐拉-伯努利和鐵木辛柯理論，雙梁系統的誤差比單梁系統降低了一個數量級。此外，對於單梁和雙梁鐵木辛柯系統，彎曲旋轉計算的誤差是可比的。隨着模型複雜性的增加，誤差沒有增加，這表明PINN框架適合模擬具有多個連接組件的大規模系統。

其次，PINNs通過其反問題求解能力準確發現未知的力函數和模型參數。所提出的算法成功地學習了單個鐵木辛柯梁的模型參數，誤差小於3%。此外，對於雙梁鐵木辛柯系統，未知函數在整個時空域內的近似誤差小於0.05%，證明了該算法在解決反問題中的有效性。

第三，速度、加速度和彎矩等物理量表徵了系統的行爲。儘管導出量在神經網絡中沒有直接訓練，對於歐拉-伯努利雙梁系統，這些導出量的近似誤差小於2e−2%。

第四，算法在正問題中使用較少的訓練點和在反問題中處理噪聲數據的能力得到了利用。結果顯示，即使使用1600個訓練點，雙梁鐵木辛柯梁的位移在整個時空域內的預測誤差小於5e−3%。在反問題中，即使學習過程中使用的數據包含20%的高斯噪聲，力函數的發現誤差仍小於0.2%。這些發現表明該算法在測試的噪聲水平下是準確和魯棒的。

總而言之，PINNs能夠高效、準確和魯棒地模擬具有多個相互作用組件的複雜結構系統。未來，這種方法可以擴展到估計各種輸入力和機械振動模式下的位移，並結合魯棒的方法來考慮隨機性。此外，未來對PINNs的研究可以集中在降低計算成本和開發增強其泛化能力的方法，從而將PINNs的適用範圍擴展到訓練域之外。