【研究前沿】中科院金屬所張哲峰研究員團隊：統一斷裂準則方程推導與驗證

鑑於此背景，中國科學院金屬研究所張哲峯研究員團隊前期提出一個統一拉伸斷裂準則—橢圓準則，該準則是經過大量實驗數據基礎上猜想出來的，而其具體方程形式需要進一步理論推導和實驗驗證。本研究通過多項式力學分析，並結合金屬玻璃剪切失穩計算模擬，確認橢圓方程是統一斷裂準則的唯一形式，該成果以Mathematical equation of unified fracture criterion爲題發表於期刊Journal of Materials Science & Technology (IF=11.2)，並被選爲封面文章。

斷裂準則研究的先驅是著名物理學家伽利略，1638年他在《兩門新科學》中首次對材料破壞需要滿足的應力條件進行了討論，並提出了著名的最大正應力準則。隨着人們對斷裂認識的加深，以及對各種斷裂行爲的總結，新的斷裂準則不斷被提出，其中最著名的包括最大切應力準則和Mohr-Coulomb準則等。2003年，張哲峯在對比金屬玻璃拉伸-壓縮斷裂強度和剪切角度時發現：大多數金屬玻璃的壓縮剪切斷裂角小於45°，而拉伸剪切斷裂角通常大於50°；並且壓縮強度總是略高於拉伸強度。金屬玻璃這種拉-壓強度和斷裂剪切角度不對稱行爲說明剪切面上正應力對剪切斷裂具有重要影響，然而現有的經典斷裂準則都無法很好地預測金屬玻璃的強度與斷裂行爲（Phys. Rev. Lett., 91 (2003) 045505）。

2005年，通過同時考慮斷裂面上正應力和切應力對材料斷裂的影響，張哲峯提出了一個新的斷裂準則，由於方程形式是一個橢圓方程，，因此稱之爲“橢圓準則”。該準則不僅可以定量地描述各種金屬玻璃材料拉伸斷裂行爲以及剪切與拉伸正斷的轉變，還從一個新的角度揭示了不同類型金屬材料的強度差別與剪切變形機制。更驚喜的是通過提出一個新的參數—斷裂方式因子：，將材料力學教科書過去400多年提出的四個經典斷裂準則（最大正應力準則、Tresca準則、Mohr-Coulomb準則、von Mises準則）統一起來，這樣不同材料的拉伸斷裂行爲可以統一地用橢圓準則進行描述和預測，因此被稱爲“統一拉伸斷裂準則”，如圖1。此項研究結果以標題形式（Unified tensile fracture criterion）發表在Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 094301。

圖1 橢圓準則統一描述和預測不同材料的拉伸斷裂行爲。不同材料的橢圓準則方程形狀不同，因此拉伸斷裂臨界點不同，導致拉伸斷裂行爲，即斷裂強度和斷裂角度的不同

進一步總結可以發現，這些著名的斷裂準則都是多項式形式的方程，如圖2。最大正應力準則和Tresca準則是無窮高階的方程，Mohr-Coulomb準則是一階方程，橢圓準則是二階方程。然而，多項式方程形式有無限多種，爲什麼這些已經提出來的準則是合理的，或者是最優的，是否有可能存在更合理的斷裂準則，這是驅動這項研究的科學問題。

圖2 簡略總結斷裂準則的發展過程，給出不同準則曲線形式示意圖。可以看出，哪個斷裂準則更符合基本物理規律，以及是否還有新的更合理的斷裂準則仍然需要進一步分析

衆所周知，材料的斷裂是由斷裂面上正應力和切應力共同控制的，但是斷裂瞬間正應力和切應力的方程形式並不知道，即f (σ, τ)未知，這是本研究需要解決的科學問題，如圖3。

圖3 材料斷裂和統一斷裂準則示意圖：(a) 材料斷裂是斷裂面上正應力和切應力共同決定的；(b) 統一斷裂準則必須包含兩個最基本的斷裂形式，即純剪切和解理斷裂，也就是圖中曲線兩個端點，問題在於兩點之間有無數條曲線，哪一條曲線最合理是需要解決的科學問題

考慮到工程應用的方便性以及多項式方程的靈活性，絕大多數斷裂準則都是多項式形式。因此，從多項式的一般形式出發，以二階斷裂準則爲例，展示其方程形式的確定過程。首先假設二階方程的一般形式爲：

其中B_i是未知參數. 考慮到切應力方向不影響材料失效的臨界應力大小，利用此條件可得：

在純剪切條件下，材料剪切失效出現在最大剪應力平面，此時的Mohr應力圓與斷裂準則方程相切，利用該條件可以得到：

最後，分別考慮材料的純剪切破環和解理斷裂，即圖3所示的曲線兩個端點，可以推導出：

其中τ₀和σ₀分別是剪切強度和解理強度。結合方程(1)-(5)可以唯一確定統一斷裂準則方程中的參數，可以得到斷裂準則方程，如下：

可以看出二階失效準則剛好是一個橢圓方程。同樣的思路，可以確定不同階斷裂準則的方程形式。進一步通過分子動力學模擬了不同應力狀態下金屬玻璃的失效，用於與理論推導結果對比，如圖4和5，對比結果發現二階失效準則，即橢圓方程是最合理的統一斷裂準則。

圖4 分子動力學模擬結果：(a) 金屬玻璃原子模型，通過三軸外加應力的變化來控制斷裂面上正、切應力的組合；(b) 不同應力狀態下金屬玻璃的剪切應變雲圖，據此可以確定失效面；(c) 加載過程的應力應變曲線，據此可以得到金屬玻璃失效的臨界應力，結合失效截面角度就可以計算出斷裂面上的正應力和切應力。

圖5 理論推導確定的斷裂準則與模擬結果對比，發現二階(2-O)斷裂準則與模擬結果最吻合，同時可以看出越高階的斷裂準則越往右上角外凸，三階斷裂準則與模擬結果已經有一定偏差，更高階的方程形式偏差會更大。

本研究通過理論推導和分子動力學模擬探討了統一斷裂準則的確定方法。結果表明：二階斷裂準則是多項式範圍內統一斷裂準則的最佳選擇。本研究採用的創新方法包括：從方程的一般形式出發推導斷裂準則，通過歸納材料斷裂的基本規律來唯一確定方程形式。在模擬方面，通過三軸加載下的分子動力學模擬研究了金屬玻璃在複雜應力狀態下的失效行爲，獲得了不同剪切失穩狀態的數據點。進一步，驗證了二階失效準則預測材料在複雜應力狀態下失效的適用性。統一斷裂準則的確定，對不同材料在複雜應力狀態的斷裂預測提供了有力支撐，有望應用於不同材料體系，以及複雜應力狀態工程構件的斷裂問題。

論文第一作者爲中國科學院金屬研究所李孝滔副研究員、通訊作者爲中國科學院金屬研究所張哲峯研究員，其他共同作者包括中國科學院金屬研究所屈瑞濤（現爲西北工業大學教授）、劉睿副研究員和張振軍研究員。該研究工作得到了國家自然科學創新研究羣體基金的資助。

原文鏈接：

https://doi.org/10.1016/j.jmst.2024.01.016

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