引言

寧波大學是個鳥愛拉屎的好地方。每年春夏之交，白鷺、灰鷺等候鳥紛紛來到寧大校園內築巢繁殖。它們體態輕盈，或佇足枝頭，或奮力展翅，成了校園中的獨特風景。

隨着這些“白鷺大軍”的到來，大量鳥屎也似雨後春筍般遍佈校園，形成數不清的鳥屎斑（圖 3）。寧大師生在欣賞“落霞與羣鷺齊飛，白日同陽明爭輝”的景緻時，也會意外地受到“天屎”的襲擊。

自寧波大學建校以來，每年四到八月，數以百計的白鷺跨越千山萬水，選擇在這片充滿生機的校園中築巢育雛。到了九月，這些白鷺及其長成的後代逐漸離開，飛往南方過冬。長久以來，寧大人已經習慣了這羣“天使”和它們製造的“天屎”。

對於“天屎”的偷襲，一些人選擇用傘做防護，而更多的人則憑藉敏捷的身手躲避。學校甚至專門配置了“白鷺林下專用傘”，以防師生被鳥屎擊中。偶爾大意了沒有閃的寧大人也不會抱怨，反而認爲這是一種特別的幸運，是母校獨有的印記。

除了如何躲避這些“天屎”，包括作者在內的許多寧大人還對另一個問題充滿了好奇：站在白鷺林下，被“天屎”擊中的概率到底有多大？本文旨在通過建立數學模型來回答這個問題。

模型

在寧波大學的校園裏，許多樹下的地面都覆蓋着鳥屎，而這些鳥屎所在位置的樹上常常築有鳥巢。鳥類傾向於在自己的巢穴附近活動，並且它們排便的位置也相對固定^[1,2]。因此，地面上已經出現鳥屎的區域，更有可能再次被鳥屎擊中。

我們將地面上經過長時間形成的大量鳥屎聚積區域定義爲鳥屎區域。鳥屎區域不同位置的鳥屎分佈可以反映出鳥屎落在該位置的概率。如圖 5 所示，記鳥屎區域爲 ，並定義區域內任意一點  的鳥屎密度（單位面積內的鳥屎量）爲 ，  。若某人在地面上的投影區域爲 ，且投影區域與鳥屎區域有重疊（即     ）。這種情況下，如果有鳥屎落下，此人就有可能被擊中，被擊中的概率  可以用以下公式估計：鳥屎落在  區域以外的概率則是 1 - 。值得注意的是，上述公式所表示的  是一隻鳥恰好在排便時，人被這一次排便擊中的概率。但鳥並不總是在排便，假設一隻鳥平均排便時間間隔爲 。考慮到鳥排便的過程是較爲隨機，其在一段時間內的排便次數可以被認爲服從泊松分佈。因此，一隻鳥在時間  內排便  次的概率服可表示爲：其中  = 1/ ，表示鳥排便的頻率。在時間  內，一隻鳥沒有排便（ = 0）或所有次排便都落在  區域以外的概率爲上式給出的只是逃過一隻鳥便擊的概率。如果鳥屎區域附近的樹上棲息着  只鳥，那麼不被所有這些鳥排便擊中的概率爲 。因此，人被鳥屎（一次或多次）擊中的概率爲上式給出的只是逃過一隻鳥便擊的概率。如果鳥屎區域附近的樹上棲息着  只鳥，那麼不被所有這些鳥排便擊中的概率爲 。因此，人被鳥屎（一次或多次）擊中的概率爲爲方便後文引用，我們將上式稱爲鳥屎擊中概率公式。從該公式可以看出，一個人在樹下被鳥屎擊中的概率與附近鳥的數量 ，鳥排便的頻率 ，人所站位置鳥屎的分佈概率 ，以及人在該位置停留的時間  相關。

鳥屎斑

接下來我們將模型應用到如圖 6 所示一個小的鳥屎斑。該鳥屎斑區域是半徑 1 m 的圓，一個人正好站在鳥屎斑區域中心，人的投影區域是半徑爲 0.3 m 的圓。

鳥屎斑中心處的鳥屎密度爲 ，鳥屎密度隨着離鳥屎斑中心的距離線性下降。因此距離圓心  處的鳥屎密度可表示爲  =   (1 - )，。據此，可以確定出有鳥屎落下時人被擊中的概率

大多數鳥類每 20 至 30 分鐘就會排便一次^[3]，本文取鳥排便的平均週期爲  = 30 min，相應的排便頻率  = 1/ 30 。將  和  的值代入鳥屎擊中概率公式可得如果該鳥屎斑附近的樹上棲息着  = 5 只鳥，且這個人在該位置停留了  = 10 min，將  和  的值代入上式並用前 100 項級數近似無窮級數，可以得到人被鳥屎擊中的概率爲  = 0.30。雖然這個概率看起來不小，但如果此人在該位置只停留 1 min，這個概率將降至 0.036 以下。

在此基礎上，本文還探討了鳥的數量和人的停留時間對鳥屎擊中概率的影響，具體見圖 7 和 8。圖 7 展示了在三種不同停留時間條件下，棲息鳥數量與鳥屎擊中概率之間的關係。結果表明，附近鳥數量越多，人被鳥屎擊中的概率越大。當鳥的數量增至 20 只時，即使人只停留 10 分鐘，被鳥屎擊中的概率也接近 80%。

另一方面，圖 8 揭示了在三種不同鳥數量條件下，人停留的時間增加如何影響被鳥屎擊中的概率。不難看出，人停留的時間越長，被鳥屎擊中的概率也越大。當人停留的時間達到 2 小時，即使附近只有 2 只鳥，被鳥屎擊中的概率也將超過 80%。

天屎路

接下來我們再將模型應用到一條天屎路。在寧波大學，有多條被戲稱爲“天屎路”的道路。東門附近的足球場南側的林蔭小道就是其中之一（見圖 9）。

盛夏時節，這條小道上常佈滿鳥屎，可以視作一個鳥屎區域，鳥屎分佈相對均勻。根據觀測，這條小道長約 100 米，寬約 9 米，故鳥屎區域總面積爲  = 900 。人的投影區域是半徑爲 0.3 m 的圓，據此可計算出有鳥屎落下時人被擊中的概率：其中  爲人的投影面積。這條道路兩側大約有 50 棵樹，每棵樹上平均有 2 個鳥巢，每個鳥巢中平均住着 4 只鳥，總計約有  = 50  2  4 = 400 只鳥。鷺鷺們主要在四月至八月間活躍在校園，持續時間約爲 120 天。如果一個學生每天以速度  經過這條道路，每天通過的時間爲 100/。將這些參數帶入鳥屎擊中概率公式，並考慮整個大學四年期間，可以計算出該學生在大學期間至少被鳥屎擊中一次的概率（圖 10）。

計算結果顯示，若該學生每天以 1 m/s 的速度穿行，四年內至少被擊中一次的概率爲 0.96；若速度提高至 10 m/s，這一概率將降至 0.28。

模擬

前文的模型雖然能計算出精確的概率值，但卻不能形象地演示鳥屎斑的形成過程。爲此，本文還採用了蒙特卡洛方法對鳥屎斑的形成進行了模擬。考慮到泊松過程的時間間隔服從指數分佈^[4]，首先利用計算機程序生成了  個具有平均值  的指數分佈隨機數，用來模擬一隻鳥排便的時間間隔：其中  = 1/ 表示這隻鳥的排便頻率。通過累加這些時間間隔，可以計算出該鳥每次排便的具體時刻：確定了排便的時刻後，模擬的下一步是確定每次排便的落點位置。如果以鳥屎斑中心爲原點，每次排便的落點位置可以用極座標 (, ) 來表示。基於之前的假設，在距離原點  處的鳥屎密度爲  =   (1 - )，。因此，可以通過以下概率密度函數生成  的隨機數：其中， = 3/ 以確保概率密度函數的積分總和爲 1。由於相同極徑的位置被落便的概率應相等， 可以用 0 到 2 之間均勻分佈的隨機數來模擬：至此，我們就可以隨機模擬出一隻鳥在  次排便過程中每次的時間和落點位置。

圖 11 是模擬 5 只鳥在 1-6 天內形成鳥屎斑的過程。在這個模擬中，每隻鳥每天有效活動時間爲 6 小時，排除了外出覓食和睡覺時間。模擬結果顯示，在較短的時間範圍內（例如 1 天），鳥屎的落點分佈看起來較爲隨機，沒有明顯的規律。然而，隨着時間的推移（如 6 天后），落點分佈開始顯現出規律性：越靠近鳥屎斑中心的位置，鳥屎的數量越多。

此外，本文還模擬了鳥的數量爲 5 只時，不同停留時間下人被鳥屎擊中的概率，結果如圖 12 所示。每種停留時間分別模擬 100 次，通過統計鳥屎落入直徑爲 0.3 米的圓內的頻率來近似概率。圖中的模擬結果（紅點）與（由鳥屎擊中概率公式計算得到的）理論模型預測結果（藍線）高度一致，這進一步驗證了模型的準確性。

結論

站在地面上有鳥屎的區域，被鳥屎擊中的概率究竟有多大？針對這一問題，本文通過概率模型和蒙特卡洛模擬，詳細分析了人在鳥屎區域被鳥屎擊中的概率。模型表明，這一概率不僅取決於鳥屎區域附近棲息的鳥數量及其排便頻率，還與個人所處的具體位置和停留時間有關。通過設定具體場景和參數，本文精確計算出了特定條件下人被鳥屎擊中的概率。此外，本文還應用蒙特卡洛方法模擬了鳥屎斑的形成過程和人被鳥屎擊中的概率，模擬結果與模型結果高度一致，進一步驗證了模型的準確性和可靠性。研究表明，若想降低被鳥屎擊中的風險，最好避免前往鳥類密集的區域，尤其是不要在鳥屎區域附近長時間逗留。

本文不僅提供了一個有趣的視角來觀察和理解校園內的自然現象，同時也展示了數學和計算機模擬在解決實際問題中的強大能力。通過對鳥屎擊中概率的研究，不僅增加了我們對校園生態環境的認識，也促進了對概率論和統計學應用的理解。更重要的是，本文的研究方法與發現爲校園管理提供了科學依據，尤其是在合理規劃校園綠化佈局、減少因鳥屎帶來的不便等方面，爲校園管理者提供了重要的參考和指導。

參考資料