動力學臨界問題（3）有繩子的鬆弛和脫離問題

知行合一 2024-08-10 10000+ 閱讀

【此題必會知識】

繩子鬆弛的臨界條件是：繩中拉力為零

繩子拉著物體與斜面脫離的臨界條件是：與斜面之間相互作用的彈力為零。

【試題】

在水平向右運動的小車上，有一傾角

\theta=37^\circ

的光滑斜面，質量為m的小球被平行於斜面的細繩繫住而靜止於斜面上，如圖所示。

（1）當小車以

a_1=g

的加速度水平向右運動時，繩對小球的拉力及斜面對小球的彈力各為多大？

（2) 當小車以

a_2=2g

的加速度水平向右運動時，繩對小球的拉力及斜面對小球的彈力各為多大？

（3）若小車以

a_3=g

向左勻加速運動時的繩中張力為多大？

【解析】

取小球為研究對象並進行受力分析,向右加速運動時與斜面脫離的臨界條件是與斜面間得作用力為零，繩子的拉力和重力提供向右的加速度

有牛頓第二定律： $\frac{mg}{tan\theta}=ma_0$ 得: $a_0=\frac{4}{3}g$

(1)

a_1<a_0

,所以沒有脫離斜面，建立正交座標系,設繩子上的作用力為

F_1,

斜面的支持力

為F_{N1}

則沿

x軸

方向：

F_1cos\theta-F_Nsin\theta=ma

沿

y軸

方向：

F_1sin\theta+F_Ncos\theta=mg

將

\theta=37^\circ 、a_1=g

代入

得

F_1=1.4mg、F_{N1}=0.2mg

(2)

a_2>a_0

所以小球已經飄起來了，則斜面對小球的彈力

F_{N2}

為零，

$F_2=\sqrt{(mg)^2+(ma_2)^2}=\sqrt5mg$

所以繩子上的拉力為 $\sqrt5mg$

（3）向左加速運動繩子有可能會鬆弛，繩子鬆弛的臨界條件是：繩子上的作用力為零，小球和小車具有相同的水平向左的加速度。有斜面的支持力和重力的合力提供水平向左的加速度。受力分析圖如下：

有牛頓第二定律： $mgtan\theta=ma_0$ 得 $a_0=\frac{3}{4}g$

因為 $a_3>a_0$ ,所以小球將會沿斜面向上運動，繩子鬆弛，繩子上的作用力為零。

【思路再析】

第二問中小球飄起來了，所以繩子與水平方向的夾角並不是 $37^\circ,$ 那麼是多少度呢?

假設繩子與水平方向的夾角為 $\alpha,$ 則有 $tan\alpha =\frac{mg}{ma}=\frac{1}{2}$ ，利用反三角函數可得： $\alpha=acrtan(\frac{1}{2})=26.5651^\circ$