據說這位菲爾茲獎得主的定理證明論文在數學史上篇幅最長
放棄這個詞語給人一種消極的感覺。但是，一個人如果連應該在哪裏選擇放棄都不知道，那麼他不會做出什麼豐功偉績。我堅信，學術研究也是如此。若想創造出好東西，要有放棄的能力。
在我開始學習有理變換的第二年，我與扎里斯基教授的另一位學生阿廷共同舉辦了研究扎里斯基教授的奇點解消理論的研討班。也就是說，我學了兩遍同樣的理論。
差不多就是在那個時候，我拜訪了一位叫阿比揚卡（Abhyankar）的數學家，他當時在康奈爾大學擔任副教授。阿比揚卡是印度人，也是扎里斯基教授的學生。我之所以去拜訪他，是因爲我聽說他對奇點解消問題非常關心。
我當時已經正式開始研究這個問題。當然，我依舊沒有想過自己能解決它，只是覺得就算解決不了，也能多少做點貢獻。也就是說，對我而言，此時的奇點解消已經變成帶有一點現實色彩的夢想。我之所以去和阿比揚卡交流意見，也是因爲期待能從他那裏獲得某些啓示。
我毫無顧忌地把當時自己對奇點解消的想法都告訴了阿比揚卡。既然存在奇點，那麼奇點應該也有它的特性。這樣的話，只要依次將奇點的特性轉換成抽象的概念並用數值表示出來，最後就能解決這個問題。
然而，阿比揚卡的想法與我的觀點互相矛盾。自信十足的他斬釘截鐵地對我說：“你的方法絕對解決不了這個問題！”結果我們的交流以破裂告終，但這對我而言也是一劑良藥。
在那之後的幾個月裏，我一直埋頭研究這個問題，但始終找不到解決問題的線索。就在此時，我聽到哈佛大學的鮑特教授說了這樣一句話——帶着問題入睡（Sleep with problem）。這句話的大體意思是，要日思夜想你要解決的難題。那段時間我的確是帶着奇點解消問題入睡的，但沒有什麼收獲，反而進一步認識到了解決這個問題的難度。對這個問題研究得越深入，就越覺得迷惑，彷彿自己在深不見底的迷潭中越陷越深。
於是，我只好暫且從這個問題中抽離自己。
我這麼做並不是放棄了夢想。我知道自己開始着手解決的這個問題有多難，這反倒更加激發了我向其發起挑戰的熱情。實現這個夢想的慾望在不斷膨脹。
從巴黎回來取得哈佛大學博士學位（1960 年 6 月）後，我再次嘗試向這個問題發起挑戰。那時我在布蘭迪斯大學擔任講師。雖然這次我鉚足幹勁苦心鑽研奇點解消問題，但又以失敗告終。
不過，在布蘭迪斯大學工作的第二年，也就是從我開始擔任副教授起，我漸漸有了自己的構想。這個構想很難用一句話概括，總之，在我日思夜想這個問題的過程中，我找到了解決問題的線索。
然而，就是在這個時候，我遇到了一件讓我有些泄氣的事情。
有一位叫克勞德·夏瓦雷（Claude Chevalley）的數學家，他是法國數學界的代表人物之一。夏瓦雷於 1909 年出生於南非的約翰內斯堡，畢業於巴黎高等師範學院，曾在普林斯頓大學、哥倫比亞大學任教，憑藉《李羣論》《代數函數論》和《夏瓦雷羣》等研究論文，成爲享譽世界的大數學家。
我聽朋友說，夏瓦雷對奇點解消問題持否定態度。
當時，我用不同於扎里斯基教授的方法解決了一維代數簇的奇點解消問題。我認爲如果沿用該方法進一步發展我的理論，一定能解決二維、三維代數簇的奇點解消問題。然而，此時夏瓦雷說奇點解消問題不是那麼簡單就能解決的，即使有人解決了這個問題，那時代數幾何學的一般性理論可能已經發展得很成熟，奇點解消問題的價值或許沒有那麼大了。我雖然沒有直接聽到他說這些話，但是從朋友轉述的話中聽出了他對這個問題持否定態度。總之，夏瓦雷認爲解決這個問題沒什麼用，沒什麼必要去研究奇點解消問題。
兩度碰壁的我比任何人都清楚，這絕不是一個輕而易舉就能解決的問題。正因爲如此，我更想向它發起挑戰，但被別人說“解決了也沒用”之後，我感到顏面盡失，要說自己當時沒有泄氣是不可能的。
後來，我敬愛的格羅滕迪克也說了讓我挫敗的話。
有一次，我從劍橋去機場送格羅滕迪克回巴黎。在去機場的路上，我在車裏對格羅滕迪克聊起了奇點解消。
當時的我似乎非常興奮。這也是理所當然的，因爲那時我已經用自己的方法解決了二維、三維代數簇的奇點解消問題。如果繼續研究下去，四維代數簇的奇點問題應該也能解決。我期待着格羅滕迪克的反應，想必他會肯定這項研究的價值，並給我帶來一些重要的啓示。我完全沉浸在自己的世界裏說個不停。
然而，坐在我旁邊的格羅滕迪克完全辜負了我的期待。
格羅滕迪克沒有表現出特別高興的樣子，甚至有些心不在焉，因爲整個過程中他幾乎沒有搭腔，而且最後他說的一句話證明瞭他沒在聽我說話。
他說：“若想證明四維代數簇的奇點解消是不成立的，只需要……”
當時我感覺自己就像捱了一棒，備受打擊。
說這句話的不是別人，而是指導過我半年的老師，是我特別尊敬的格羅滕迪克。所謂目瞪口呆，可能就是我當時的狀態吧。難道我沉迷於奇點解消問題只是爲了證明它是一個謊言嗎？這麼傷人的話令我心灰意冷。
不過，也有人曾給予我鼓勵。
這個人便是扎里斯基教授。我當時一邊在布蘭迪斯大學工作，一邊在哈佛大學的研討班學習。有一天，我和扎里斯基教授在校園內擦肩而過。知道他一向很忙，所以我只打算跟他打個招呼。
然而，他攔住我問：“你現在在忙什麼？”
“我正在重新思考奇點解消的問題。”我回答。
他若有所思地拍着我的肩膀說：“你需要一口結實的牙齒去啃它。”（You need strong teeth to bite in.）
提前備好結實的牙齒這句話體現了扎里斯基教授的幽默感。若不咬緊牙關則解決不了這個問題，所以他給我的忠告是必須備好一口結實的牙齒。扎里斯基教授是想讓我下定決心努力去做。
奇點解消是扎里斯基教授親自研究過的問題，所以他深知這個問題的重要性。不管怎樣，他的話讓我備受鼓舞。
另外，法國數學家湯姆（Thom）的話也令我振奮，我也經常把他的話說給自己聽。他說：“從事代數幾何研究工作的人淨是些懦夫，一遇到棘手的問題，就揚言解決了也沒有意義。這是代數幾何學家的慣用伎倆。”
湯姆的話還是比較中肯的。我曾暗自發誓絕不做他嘴裏的“懦夫”。
在布蘭迪斯大學工作的第二年，我就是這樣下定決心重新踏上奇點解消問題的研究之旅的。不久後的一個夜裏，我終於突破最後一道防線，找到了解決問題的大方向。
我的研究目標是創造一個可以解決任意維數奇點解消問題的理論。我秉持堅韌不拔的信念，經過多次挑戰和不懈努力，終於用不同於扎里斯基教授的方法解決了任意維數的奇點解消問題。
我興奮地拿起電話，強有力地撥着扎里斯基教授家的電話號碼。我當時感覺如果不找別人說一下，自己就無法平靜下來。
“我好像解決了所有維數的奇點解消問題。”
扎里斯基教授接通電話後，我迫不及待地對他這樣說道。他的聲音一如既往地冷靜。總而言之，少言寡語的他當時只給了我“要謹慎行事”的忠告，隨即安靜地放下了電話。
的確，此時最重要的就是謹慎再謹慎，否則自己可能會陷入無法挽回的尷尬境地。過去就有好幾位數學家宣佈解決了奇點解消問題，結果鬧出了烏龍事件。其中還有數學家發表了相關論文，結果遭到扎里斯基教授毫不留情的指正。
自認爲百分之百解決了問題，但沒想到疏於檢查細節，最終問題還是沒有解決，這樣的情況在數學界屢見不鮮。曾經有一位年輕的數學家宣佈自己解決了某個難題，並發表了相關論文，但之後被指出存在重大錯誤，從此一蹶不振。扎里斯基教授給予我“要謹慎”的忠告就是爲了防止我重蹈覆轍。
不久後，我在哈佛大學開設了以這個問題爲焦點的研討班。我打算在研討班上和參加人員以問答的形式，徹底檢查一下理論的相關細節。
後來我覺得有必要改進在解決問題時使用的原創方法。於是，我向學校提出了停辦研討班一個月的申請。就在得到校方批復後不久，我偶然遇到扎里斯基教授，他問我：“你的奇點解消理論還是定理嗎？”
有時雖然以爲自己的理論是得到證明的“定理”，但經過仔細檢查後卻發現其中存在漏洞，結果問題還是沒有得到解決。這種例子在數學界中層出不窮。扎里斯基教授是擔心發生這種情況才這麼問我的。我充滿自信地答道：“還是定理。”
雖然存在幾處必須改進的地方，但是我堅信我的思路沒有問題。
從那以後，我把所有時間都放在寫論文上。本來我就是個夜貓子，經常喫完晚飯後看電視或者和家人聊天，到晚上十點纔開始工作，睡覺的時候已經是早晨五點左右了。我入睡後不久，妻子就會起牀，清點我昨夜寫的稿子的頁數，然後將稿子交給打字員。我睡醒以後會通讀打印出來的稿子，仔細檢查邏輯結構方面是否有錯，證明細節是否嚴謹。如果沒有任何問題，就開始思考下一步，就這樣不知不覺到了晚飯時間。那段時間我的日常便是如此。
當然大學裏有課的時候，我也得過去上課。但是，當時我一天只睡三四個小時，而且前一天夜裏與問題奮戰的餘韻未盡，昏昏沉沉的大腦讓我無法在課上百分之百地集中注意力。真是對不起那些來聽我課的學生。
用寫小說的方式是寫不了數學論文的。其實我沒有資格這麼說，畢竟我沒有寫過小說。不過，我認爲二者在寫作方式上完全不同。比如，寫到一半時發現不妥之處，小說的話可能不用重寫，但數學論文就不是這樣了，哪怕發現一星半點邏輯上的錯誤，都必須推倒重來。因此，很多時候頭一天寫下的十幾頁稿子，到第二天都會變成沒用的廢紙。在寫關於奇點解消問題的論文時，我不知道遇到多少次這種情況。每當遇到這種情況，早上去學校的心情都無比沉重。
不管怎樣，歷時兩個多月，在一天深夜裏我的論文終於完成。論文的正式題目爲“Resolution of singularities of an algebraic variety over a field of characteristic zero”（在特徵零的域上代數簇的奇點解消）。
這篇論文原稿的厚度能與馬薩諸塞州的電話號碼簿相匹敵。因此，數學家們後來都用“廣中的電話號碼簿”來代指這篇論文。在證明定理的論文中，據說我寫的這篇論文是數學史上篇幅最長的。
論文內容分兩次刊登在美國的數學期刊《數學年刊》上。
過了相當長的一段時間後，扎里斯基教授在卸任美國數學學會會長的紀念演講中說道：“廣中取得了勝利。”
據說在我發表論文之後，扎里斯基教授還曾多次用他自己的方法驗證過我的理論。他在演講中宣告我推出了他未能推出的理論，以此來表示對我這位學生的關懷。
上文節選自人郵圖靈《》
菲爾茲獎、日本學士院獎、日本文化勳章得主 日本數學大家——廣中平祐 親筆自傳
講述數學學習的心得感悟，探索創造性思維的本質與根源
記錄從數學啓蒙到“菲爾茲獎得主”的人生經歷
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