光前裕後，繼往開來，回顧潘承洞先生卓越成就！

齐月菡 2024-08-04 10000+ 閱讀

作者 | 齊月菡

來源 | 山東大學數學學院




畢達哥拉斯說：數統治宇宙。

高斯說：數學是科學的女王。


整數是數學的基礎，而數論就是研究整數性質的學問。整數都能分解成素數的乘積，所以素數分佈是數論的核心問題。

素數是離散的，其出現並無明顯規律。解析方法是研究素數分佈的最有力工具，所以有了解析數論這門學問。






在潘承洞先生誕辰90週年紀念大會
暨數學發展論壇上
潘承洞先生的弟子
中國解析數論學派
新一代代表人物
劉建亞教授作報告
講述了恩師在研究領域
取得的卓越成就
為黨和國家培養
大批優秀數學人才的育人事蹟
以及山大解析數論
在潘承洞精神影響下的
傳承與發展



01

最小素數與幾個發展

素數分佈


數論是研究整數性質的學問，而整數都可以分解成素數的乘積，因此素數分佈是數論的核心問題。


歐幾里得定理（《幾何原本》約公元前 300 年）：自然數中有無窮多素數。


歐幾里得

等差數列中的素數


Dirichlet 定理（1837）：


若一個等差數列 

a,a+q,a+2q,a+3q,…

的公差q與首項a互素，則這個等差數列中有無窮多個素數。

這是歐幾里得定理在等差數列中的深刻推廣，其重要歷史意義一直延續至今。

Dirichlet

上述等差數列中最小的那個素數p₁如何用q來衡量，是一個重要的科學問題。

假設廣義黎曼猜想，有p₁≪q2+ε.

然而若直接利用等差數列中的素數定理，無法用q的多項式控制p₁的上界。

Riemann


數論世界 登堂入室


20世紀50年代是近代解析數論的一個重要發展時期。

閔嗣鶴極有遠見地為潘承洞確定了研究方向：L-函數的零點分佈及其在數論問題中的應用。

閔嗣鶴

潘承洞



學術成就一：最小素數



Linnik 定理（1944）：

存在一個絕對常數L，使得上述等差數列中的最小的那個素數p₁滿足
 
p₁≪ qL

這裡的L是個定性的絕對常數，非常大，而且不知道其可允許的數值。

這是對黎曼猜想的一大貢獻

Linnik

潘承洞定理（1957）：

Linnik常數L滿足   L≤10000.

這個驚世之作是潘承洞在本科期間，在閔嗣鶴先生指導下完成的，潘承洞時年23歲。

  • 這是關於Linnik常數的第一個定量結果。
  • 這項工作非常重要，Linnik親自為此寫了長篇評論。



幾個發展


此後對Linnik常數的改進，都是在潘承洞這一框架下得到的，後續研究者，包括陳景潤和Heath-Brown等數學大家。


時至如今，Linnik 常數仍是研究熱點。


2023 年，邵逸夫獎得主Iwaniec給出了證明L≤75744000的新方法。




02
 哥德巴赫猜想



哥德巴赫猜想是哥德巴赫在1742年給歐拉的信中提出來的。


此後100多年的時間裡，哥德巴赫猜想的研究沒有本質的進展。


1900年希爾伯特將哥德巴赫猜想列入其23個數學問題。


Euler


Hilbert



一個好的猜想要滿足三個條件：

一是美；

二是難；

三是與數學的其他分支有廣泛的聯繫。


哥德巴赫猜想就滿足這三個條件。


哥德巴赫猜想研究在1920年以後開始取得突破：

英國學派Hardy與Littlewood；蘇聯學派Vinogradov, Linnik





勇攀高峰 摘取明珠


華羅庚：“我並不是要你們在這個問題上做出成果來，我的著眼點是哥德巴赫猜想跟解析數論中所有的重要方法都有聯繫......”

數論中國學派（the Chinese School）誕生


華羅庚和他的學生們（左一為潘承洞）




學術成就二：哥德巴赫猜想



Rényi 定理（1948）：


對某個 θ>0 成立，從而推出了哥德巴赫猜想中的命題（1+C）。這個C是個定性的結果，不知道其具體可允許的值。

這仍然是素數在等差數列中分佈問題，這裡的 θ 稱為分佈的階，至關重要。大體上說，C ∝ 1/θ .

潘承洞（1962）：θ=1/3 成立，從而得到（1+5）。這是首個定量結果。

潘承洞（1962/1963）：θ＝3/8 成立，並推出（1+4）。

目前，最強的結果是陳景潤（1966/1973）的（1+2）。

對應於張益唐關於孿生素數猜想的定理，在哥德巴赫猜想中並未得到證明。





03

學術傳承





在任教的30多年中

潘承洞為本科生、研究生

開設了10多門課程

指導並培養了13 名博士研究生

20 名碩士研究生




潘承洞與學生們在一起


潘承洞與展濤、劉建亞等學生在一起



21世紀的（解析）數論



數論始終是一個試驗場，任何數學工具都可以用來解決數論問題。尤其是進入21世紀以來，分析、代數、幾何、組合等各數學分支，在此高度交叉融合。數論各分支之間也越來越交叉融合。


僅就分析工具來說，已經從原先的實分析、複分析擴展為李群上的調和分析、自守表示、Langlands 綱領等現代工具。


關於素數分佈，Sarnak 提出了一個綱領性猜想，預言了素數在群作用的軌道上的分佈規律，這個猜想相當於高維高次的哥德巴赫猜想，包含了歷史上有關素數的幾乎所有重要猜想。Sarnak因為與此猜想有關的工作，獲得2024年邵逸夫獎。



群作用的一個軌道的示意圖



在以上大背景下，山大數論正在做出積極的貢獻。例如，劉建亞證明了Sarnak猜想對10個變量的二次型方程成立；劉建亞與Sarnak合作，證明了該猜想在三元二次型的情形對殆素數成立。最近，劉建亞更與合作者證明了Sarnak猜想在高維高次的情形下也成立。相關結果刊於 Duke Math. J., GAFA，Crelle's Journal等，被三位菲爾茲獎得主陶哲軒, Bourgain, Venkatesh以及其他作者廣泛引用900餘次，這在數論領域是非常高的，引文雜誌包括Ann. of Math., Invent. Math., Acta Math. 等。




在介紹結尾時

劉建亞引用師兄展濤的話

以表達潘氏弟子對潘先生的敬仰



在報告的最後
劉建亞引用山東大學
任友群書記、李術才校長
在《潘承洞影印文集》序言中的話
作為結語

“潘承洞先生是

勇攀高峰的科學家典範

獎掖後學的大先生典範

追求卓越的教育家典範

我們敬仰潘先生、懷念潘先生

學習潘先生…”


光前裕後，繼往開來
我們深切緬懷潘承洞先生
為我國數學和教育事業作出的卓越貢獻
追思和學習他的崇高品格和精神風範
大力弘揚教育家精神、科學家精神
為服務中國式現代化貢獻山大力量！




素材來源 | 山東大學數學學院
編輯 | 齊月菡
責任編輯 | 蒲帥
審核 | 林竹 馮剛



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